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積鼎CFDPro水動力仿真:NS方程組的衍生派系— 水動力方程組
發(fā)布日期:2024-05-08
 
水動力方程的發(fā)展史
說起NS方程,大家都知道方程名稱中的兩位科學(xué)家先驅(qū)——納維和斯托克斯??墒沁€有一名科學(xué)家應(yīng)該被大家知曉,那就是法國科學(xué)家圣維南。圣維南全名為Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant,一般用Saint-Venant來代表他。他是十九世紀(jì)法國著名的機(jī)械師、數(shù)學(xué)家,主要從事力學(xué)、彈性、靜水學(xué)和流體動力學(xué)方面的研究,推導(dǎo)出了非恒定明渠流淺水方程。這個方程也被稱為圣維南方程,是現(xiàn)代水利工程中的一組重要方程。圣維南方程是水動力方程一維化形態(tài)。
圣維南不僅獨(dú)立的推導(dǎo)出了非恒定明渠流淺水方程,他還在納維之后,重新推導(dǎo)了關(guān)于粘性流動的方程,考慮到了內(nèi)部的粘性應(yīng)力,并完全放棄了納維采用的分子方法,并于1843年發(fā)表了相關(guān)論文。該論文首次正確地識別了粘性系數(shù)及其作為流動中速度梯度的乘數(shù)的作用。他還進(jìn)一步將這些乘積識別為由于摩擦作用從而在流體內(nèi)部產(chǎn)生的粘性應(yīng)力。
隨后,在基于不可壓條件和靜水壓假設(shè)等條件下,二維水動力方程組被推導(dǎo)出來,也就是被大眾熟悉的淺水方程。淺水方程的假設(shè)前提為水體的深度方向尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于水平方向尺度,因此可以將深度方向的速度分布等效為均勻流。連續(xù)方程中的密度項(xiàng)也通過積分轉(zhuǎn)化為水深的表達(dá)式。
淺水方程的出現(xiàn)極大的方便了科學(xué)家通過數(shù)學(xué)物理方法尋找水體運(yùn)動規(guī)律。但是在水庫或是深度方向需要精細(xì)考慮的場景,二維的淺水方程就不夠準(zhǔn)確了。因此科學(xué)家將深度方向再進(jìn)行分層細(xì)化,每層之間再通過約束方程進(jìn)行質(zhì)量和動量的傳遞,從而產(chǎn)生了三維淺水方程。
 
水動力方程的表達(dá)形式
先看圣維南方程組(一維水動力)的表達(dá)形式:

連續(xù)性方程:

動量方程:

 
其中,Z表示自由水面高度,S表示過流斷面面積,g表示重力加速度,J表示水頭損失因子,β表示斷面流速均勻性系數(shù),qa表示質(zhì)量源項(xiàng)。
該方程組看起來跟我們認(rèn)知中的一維NS方程組相差甚遠(yuǎn),那是因?yàn)樵趯樱ㄇ┑肋M(jìn)行一維化概化時,描述水體運(yùn)動規(guī)律的參數(shù)維流量Q和過流面積S。而過流面積又可以表達(dá)為水深h的函數(shù)S=f(h),流量可以表達(dá)為流速v和過流面積的函數(shù)Q=f(v,S)。

圖1 河(渠)道過流斷面示意圖

圖2 河(渠)道沿程坡降示意圖
 
在經(jīng)過一些數(shù)學(xué)上的變換后,圣維南方程組就可以變?yōu)橄蛄啃问剑?/section>

 
其中,守恒量項(xiàng),通量項(xiàng) ,源項(xiàng)
淺水方程組(二維水動力)的表達(dá)形式沿用向量形式:
其中,守恒量項(xiàng),x方向通量項(xiàng) ,y方向通量項(xiàng),底坡源項(xiàng),摩擦源項(xiàng)。
 

圖3 河道二維流動示意圖

三維淺水方程與二維較為類似,由于篇幅原因,就不在此贅述,其垂向分層思想由下圖所示。

圖4 三維水動力垂向分層示意圖

從一、二維方程的形式我們可以看出,在NS方程中存在密度項(xiàng)不在了,取而代之的是表達(dá)幾何屬性的面積S或者水深h,其實(shí)這就是基于不可壓縮假設(shè)做了深度方向的均勻化與積分轉(zhuǎn)換。
 
水動力方程的應(yīng)用領(lǐng)域和價值
水動力方程在海洋、氣象以及水利領(lǐng)域發(fā)揮了重要作用。圣維南方程常用于明渠及簡單河道的流量與水位關(guān)系的規(guī)律性計算;二維淺水方程常用于模擬河流中水體的運(yùn)動狀態(tài),如水位、流速等。
在洪水的預(yù)測和控制中,二維淺水方程能幫助水文部門預(yù)測洪水的演進(jìn)路徑、淹沒范圍及過程歷時,為防洪減災(zāi)提供定量分析的重要依據(jù)。
在海岸工程中,利用波浪模型,淺水方程可用于模擬波浪在近岸淺水區(qū)的傳播和變形,可以分析波浪對海岸線的侵蝕作用,對港口建設(shè)、海岸防護(hù)以及海灘保護(hù)的方案設(shè)計提供重要科學(xué)支撐。
在湖泊和水庫的管理中,淺水方程結(jié)合水質(zhì)模型,能夠幫助管理機(jī)構(gòu)了解水體循環(huán)、混合和水質(zhì)演變規(guī)律,為水資源的調(diào)配、水質(zhì)保護(hù)以及水生態(tài)的修護(hù)提供決策支持。
對于環(huán)境保護(hù)領(lǐng)域,淺水方程可以用于模擬水流對污染物的輸運(yùn)和擴(kuò)散過程,評估水質(zhì)污染風(fēng)險,為水環(huán)境治理和生態(tài)保護(hù)提供科學(xué)依據(jù)。
在水利工程設(shè)計與運(yùn)行項(xiàng)目中,淺水方程可以用于分析水流條件、評估水工程結(jié)構(gòu)物的穩(wěn)定性和安全性,幫助設(shè)計單位優(yōu)化設(shè)計方案,確保工程實(shí)施的安全可靠。

目前,中國水利部正在大力推進(jìn)基于水利專業(yè)模型的數(shù)字孿生流域建設(shè),而水動力模型正是重要的水利專業(yè)模型,所以說數(shù)值計算技術(shù)不僅在工業(yè)界是重要的設(shè)計和校驗(yàn)手段,在水利行業(yè)同樣也是備受關(guān)注的水利現(xiàn)代化和智慧化的科學(xué)方法。

 
 
積鼎科技緊跟水利行業(yè)專業(yè)模型發(fā)展需求,研發(fā)并推出了具有自主研發(fā)、代碼可控的水動力求解器套件CFDPro——水動力模塊。該模塊包含跨臨界的一二三維自由水面求解器和基于Level_set方法的三維氣液兩相流求解器,可滿足水利行業(yè)管理部門的大部分專業(yè)模型使用場景需求。
  • 計算準(zhǔn)確率高,項(xiàng)目準(zhǔn)確率高達(dá)85%

  • 計算效率高,同等算力條件下耗時節(jié)省40%

  • 算法強(qiáng)大,可解決洪水頂托、水工建筑調(diào)度等問題

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VirtualFlow是由積鼎科技自主研發(fā)的一款通用計算流體動力學(xué)(CFD)仿真軟件,具備行業(yè)領(lǐng)先的網(wǎng)格建模與求解技術(shù),和豐富的多相流物理模型及先進(jìn)的相變模型,可模擬單相和多相/多組分物質(zhì)流動、傳熱、界面追蹤、粒子追蹤、相變、水合物反應(yīng)等復(fù)雜問題,可為我國工業(yè)行業(yè)用戶提供專業(yè)級流體仿真解決方案。

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