1、界面穩(wěn)定性問題分析
在VOF方法中，界面穩(wěn)定性是多相流模擬的核心問題之一。界面捕捉的穩(wěn)定性直接影響模擬結(jié)果的物理準(zhǔn)確性，尤其在處理復(fù)雜界面形變、表面張力驅(qū)動(dòng)流動(dòng)以及高密度比流體時(shí)，數(shù)值誤差可能導(dǎo)致非物理現(xiàn)象。以下是界面穩(wěn)定性中兩個(gè)主要問題的分析：數(shù)值擴(kuò)散和表面張力偽速度。
1.1數(shù)值擴(kuò)散
成因：
- 數(shù)值擴(kuò)散是由于VOF方法中體積分?jǐn)?shù)的對(duì)流項(xiàng)離散化誤差引起的，尤其在使用低階格式（如一階迎風(fēng)格式）時(shí)更為顯著。
- 在界面捕捉過程中，界面形狀會(huì)隨著流動(dòng)逐漸擴(kuò)散，導(dǎo)致界面模糊，失去物理意義。
- 當(dāng)網(wǎng)格分辨率不足時(shí)，界面重構(gòu)（如PLIC方法）也可能引入額外的擴(kuò)散誤差。
影響：
- 界面厚度增加：數(shù)值擴(kuò)散會(huì)導(dǎo)致界面從一個(gè)清晰的薄層變成模糊的過渡區(qū)域。
- 物理現(xiàn)象失真：例如在液滴動(dòng)力學(xué)中，數(shù)值擴(kuò)散可能導(dǎo)致液滴體積損失或形狀畸變。
- 多相流模擬精度下降：尤其在小尺度問題（如微流體）中，數(shù)值擴(kuò)散會(huì)顯著影響界面動(dòng)力學(xué)行為。
1.2表面張力“偽速度”（spurious currents）
成因：
- 表面張力的計(jì)算通常采用CSF（Continuum Surface Force）模型[1]，該模型將表面張力分布到界面附近的網(wǎng)格中。如圖 1所示，界面的離散近似充當(dāng)物理平滑界面上的擾動(dòng)，在其附近產(chǎn)生虛假的毛細(xì)管流。其毛細(xì)管流的量級(jí)與網(wǎng)格尺度有關(guān)，見式。
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圖1 二維液滴的體積分?jǐn)?shù)分布，黑色曲線為真實(shí)界面
從式中可以發(fā)現(xiàn)減小網(wǎng)格大小并不會(huì)減小這種誤差，反而會(huì)加劇。減小這種誤差涉及到精確的界面處曲率計(jì)算，對(duì)表面張力的顯式處理等方法。已有的數(shù)值方法對(duì)這種時(shí)間步要求有對(duì)應(yīng)的判據(jù)，在時(shí)間尺度上需要滿足一定的要求，如下兩式。
- 在離散化過程中，表面張力與壓力梯度之間可能出現(xiàn)不平衡，導(dǎo)致非物理的偽速度。
- 網(wǎng)格分辨率不足或界面幾何形狀復(fù)雜時(shí)，偽速度問題尤為嚴(yán)重。
影響：
- 界面形狀失真：偽速度會(huì)導(dǎo)致界面發(fā)生非物理的運(yùn)動(dòng)或振蕩。
- 流體動(dòng)力學(xué)行為異常：例如在高表面張力問題中，偽速度可能完全改變流體的流動(dòng)模式。
- 模擬結(jié)果不穩(wěn)定：偽速度的累積可能導(dǎo)致模擬發(fā)散，尤其在長時(shí)間模擬中。
2、典型案例分析
為了更直觀地分析VOF界面捕捉的穩(wěn)定性問題，以下通過兩個(gè)經(jīng)典案例進(jìn)行探討：靜止?fàn)顟B(tài)由界面毛細(xì)力產(chǎn)生的波動(dòng)（Standing Capillary Wave）和液滴周期形變（Periodic Deformation of a Droplet）。
2.1Standing Capillary Wave
背景：
- 靜止?fàn)顟B(tài)由界面毛細(xì)力產(chǎn)生的波動(dòng)是一個(gè)經(jīng)典的表面張力驅(qū)動(dòng)問題，用于測(cè)試界面捕捉算法在表面張力計(jì)算中的穩(wěn)定性。
- 在理想情況下，Standing Capillary Wave的振幅會(huì)隨著時(shí)間逐漸衰減，最終達(dá)到平衡狀態(tài)。
測(cè)試設(shè)置：
- 初始界面為一個(gè)正弦波形，波長為(為(λ)，振幅為(a=λ/20)。設(shè)置模型見圖 2。該案例的動(dòng)能波動(dòng)頻率具有解析解，見下式。
由于粘性效應(yīng)產(chǎn)生的動(dòng)能衰減由下式?jīng)Q定[2]。
圖2案例示意圖
- 表面張力是唯一的驅(qū)動(dòng)力，流體的粘性和密度均為常數(shù)。
- 目標(biāo)是觀察界面形狀的演化以及振幅的衰減規(guī)律，如圖 3?？梢园l(fā)現(xiàn)，網(wǎng)格對(duì)動(dòng)能的衰減過程存在較大的影響，粗糙的網(wǎng)格甚至影響震蕩的頻率。
圖3不同網(wǎng)格尺度下動(dòng)能衰減過程與解析解對(duì)比
問題表現(xiàn)：
- 偽速度問題：如果表面張力計(jì)算不準(zhǔn)確，界面會(huì)出現(xiàn)非物理的振蕩。
- 數(shù)值擴(kuò)散：界面逐漸模糊，波形失去清晰度。
- 能量耗散異常：數(shù)值誤差可能導(dǎo)致波的衰減速度與理論值不符。
改進(jìn)方法：
- 使用平衡力算法（Balanced-Force Algorithm）來精確平衡表面張力和壓力梯度。
- 提高界面重構(gòu)精度（如采用PLIC方法）以減少數(shù)值擴(kuò)散。
- 采用自適應(yīng)網(wǎng)格細(xì)化（AMR）技術(shù)，在界面附近提高分辨率。
2.2液滴周期形變（Periodic Deformation of a Droplet）
背景：
- 液滴周期形變是一個(gè)經(jīng)典的對(duì)流測(cè)試問題，用于評(píng)估界面捕捉算法在復(fù)雜界面形變中的穩(wěn)定性。
- 液滴在一個(gè)周期性變化的速度場(chǎng)中被拉伸和壓縮，最終應(yīng)恢復(fù)到初始形狀。
測(cè)試設(shè)置：
- 初始液滴為一個(gè)的圓盤或球體，置于一個(gè)二維或三維的速度場(chǎng)中。如式，為一個(gè)三維狀態(tài)下速度場(chǎng)隨時(shí)間變化。該案例經(jīng)由公式直接給定在網(wǎng)格的face中心，為準(zhǔn)確的速度分布，后參與VOF方程計(jì)算。
- 速度場(chǎng)為周期性變化的渦流場(chǎng)，液滴在流動(dòng)中經(jīng)歷拉伸、旋轉(zhuǎn)和壓縮。
- 目標(biāo)是觀察液滴在一個(gè)周期后是否能夠恢復(fù)到初始形狀。如圖 4，在初始時(shí)刻為圓球，在一個(gè)周期后，如果是數(shù)值精度高的算法，應(yīng)該保持較好的圓球狀。
圖 4 液滴界面變化過程
問題表現(xiàn)：
- 數(shù)值擴(kuò)散：液滴在拉伸過程中，界面逐漸模糊，導(dǎo)致體積損失。
- 界面重構(gòu)誤差：在復(fù)雜形變過程中，界面重構(gòu)算法可能無法準(zhǔn)確捕捉液滴形狀。
- 偽速度問題：表面張力計(jì)算誤差可能導(dǎo)致液滴形狀的非物理變化。
改進(jìn)方法：
- 使用高階插值方法（如PLIC）[3]來提高界面重構(gòu)精度。
- 采用MULES算法限制體積分?jǐn)?shù)的變化，確保界面清晰。
- 采用基于幾何方法的界面捕捉算法，如OpenFOAM中的IsoAdvectors。
- 在高密度比和高粘度比條件下，使用Ghost Fluid Method（GFM）[5]平滑界面附近的物性跳躍。
總結(jié)
通過對(duì)VOF界面捕捉穩(wěn)定性問題的分析，可以看出數(shù)值擴(kuò)散和表面張力偽速度是影響界面穩(wěn)定性的兩大主要問題。在典型案例中，靜態(tài)毛細(xì)波和液滴周期形變分別揭示了表面張力計(jì)算和界面重構(gòu)的不足。為了解決這些問題，研究者提出了多種改進(jìn)算法，如PLIC方法、平衡力算法和自適應(yīng)網(wǎng)格細(xì)化技術(shù)。這些方法在提高界面捕捉精度和穩(wěn)定性方面表現(xiàn)出色，但仍需在計(jì)算效率和適用性方面進(jìn)一步優(yōu)化。
未來的研究方向包括：
- 開發(fā)更高精度的界面重構(gòu)算法。
- 利用機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)優(yōu)化界面捕捉過程。
- 結(jié)合GPU加速技術(shù)，提升大規(guī)模多相流模擬的效率。
參考文獻(xiàn)
[1] S. S. Deshpande, L. Anumolu, and M. F. Trujillo, “Evaluating the performance of the two- phase flow solver interFoam,” Computational Science & Discovery.
[2] Lamb H 1932 Hydrodynamics (Cambridge: Cambridge University Press)
[3] https://github.com/daidezhi/interPlicFoam
[4] Roenby, Larsen, J. , Bredmose, B. E. , Jasak, H. , & Hrvoje. (2017). A new Volume-of-Fluid method in OpenFOAM. MARINE VI : proceedings of the VI International Conference on Computational Methods in Marine Engineering. International Center for Numerical Methods in Engineering.
[5] Fedkiw, R. P. , Aslam, T. , Merriman, B. , & Osher, S. . (1999). A non-oscillatory-eulerian approach to interfaces in multi-material flows (the ghost fluid method). Journal of Computational Physics, 152.
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